Phương pháp tổng hợp dao động điều hòa

Phương pháp tổng hợp dao động điều hòa

Bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu và giải tốt các bài toán về tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Phương pháp tổng hợp dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Xét hai dao động:
$x1=A_{1}cos(\omega t+ \varphi _{1})$
$x2=A_{2}cos(\omega t +\varphi _{2})$

dao động tổng hợp

$x=x _{1}$ + $x _{2}$

Cách 1. Sử dụng phương pháp lượng giác
Cách này chỉ dùng để tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số và cùng biên độ(cách này khỏi nói chỉ cần dùng tốt công thức cộng lượng giác là được. chú ý - cos + cos = 2 cos.cos)
Cách 2. Dùng công thức trong sách giáo khoa(thành lập biểu diễn các dao động bằng các véc tơ quay và dùng quy tắc hình bình hành để tìm các giá trị về biên độ A và góc pha ban đầu $\varphi$ ).
Dao động tổng hợp có dạng: $x=Acos(\omega t+ \varphi )$
Trong đó:
$A=\sqrt{A _{1}^{2}+A _{2}^{2}+2A _{1}.A _{2}.cos(\varphi_{2}-\varphi _{1})}$
$tan(\varphi)=\frac{A _{1}.sin\varphi _{1}+A _{2}.sin \varphi _{2} }{A _{1}cos\varphi _{1}+A _{2}.cos\varphi _{2}}$
Chú ý: Cách này mặc dù dễ nhớ dễ dùng song chỉ dùng để xác định dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa và nói chung cũng ít dùng để giải các bài toán đi thi đại học:
Bài tập ví dụ 1:
Tìm dao động tổng hợp của hai dao động sau:
$x _{1} = 3cos(\2.\pi t+ \pi/2)$

$x _{2} = 4cos(\2.\pi t)$
Giải:
Dao động tổng hợp của hai dao động trên là:

$x=Acos(\omega t +\varphi)$
Với :
$A= \sqrt{3^{2}+4^{2} + 2.3.4.cos\pi/2}$ = 5cm

$tan(\varphi)$ = $\frac{3.sin \pi / 2+ 4.sin \0}{3cos \pi /2 + 4 cos \0}$ Bấm máy tính hoặc tính ta được:

$tan(\varphi) = \frac {3}{4}$ suy ra $\varphi =0,643 Rad.$
Phương trình dao động tổng hợp là:
$x= 5cos(2. \pi .t + 0,643) cm$
Cách 3. Dùng giãn đồ véc tơ
Biểu diễn hai dao động trên trên trên cùng một hình vẽ. Các bước vẽ
Vẽ trục ox làm trục gốc nằm ngang
Biểu diễn $x _{1}$ = $\vec{A _{1}}$ sao cho $\vec{A _{1}}$ hợp với ox một góc $\frac{\pi}{2}$
Biểu diễn $x _{2}$ = $\vec{A _{2}}$ sao cho $\vec{A _{2}}$ hợp với ox một góc $0$

Từ hình vẽ ta có $\vec{A} = \vec{A _{1}}+ \vec{A _{2}}$ là véc tơ biểu diễn dao động tổng hợp.
Từ hình vẽ dễ tính được
A = 5cm
$tan \varphi = \frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{3}{4}$
Suy ra
$\varphi = 0,643 Rad$

Chú ý: với phần lớn bài tổng hợp hai daong động điều hòa cùng phương cung tần số ta dùng cách này. Nếu hai véc tơ biểu diễn hai dao động điều hòa không vuống góc thì để tính A tổng hợp và $\varphi$ ta dùng định lý hàm số cos trong tam giác để tìm. Chác các em làm được phải không?

Cách 4. Sử dụng hình chiếu của các dao động trên các trục tọa độ.

Cơ sở lý thuyết.

Biểu diễn véc tơ $\vec{A}$ trong hệ trục tọa độ xoy sao cho $\vec{A}$ hợp với $\vec{ox}$ một góc $\varphi$

Phân tích véc tơ này làm hai thành phần Ax và Ay ta có:
$A _{x}=Acos(\varphi)$
$A _{y}=Asin (\varphi)$
Giả sử cần tổng hợp nhiều dao động cùng phương cùng tần số:
x1, x2, ...xn. Ta chỉ việc biểu diễn tất cả các dao động đó bằng các véc tơ $\vec{A _{1}}, \vec{A _{2}}, ..., \vec{A _{n}}$
Mỗi véc tơ trên ta đều phân tích thành các thành phân theo trục ox và trục oy.
Ta có biên độ tổng hợp của dao động theo các phương là:
Ax= Ax1 +Ax2 +...+Axn
Ay = Ay1 + Ay2 +...Ayn
(Chú ý các Axi và Ayi (i từ 1 đến n) được tính như Ax và Ay đã thiết lập phần cơ sở lý thuyết)
Biên độ dao động tổng hợp là:
$A = \sqrt{A _{y}^{2} + A _{x}^{2}}$
Pha ban đầu của dao động tổng hợp là:
$tan \varphi$ = Ay/Ax.
Cách này cho phép tổng hợp nhiều hơn hai dao động khá tiện lợi.